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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Valeur moyenne : exponentielles, logarithme et composées

La valeur moyenne d'une fonction continue ff sur [a ; b][a\,;\,b] est m=1b−a∫abf(x) dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx.

  1. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦exf : x\mapsto e^{x} sur l'intervalle [0 ; 2][0\,;\,2].

  2. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦1xf : x\mapsto \dfrac{1}{x} sur l'intervalle [1 ; 4][1\,;\,4].

  3. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦2e12xf : x\mapsto 2e^{\frac{1}{2}x} sur l'intervalle [0 ; 2][0\,;\,2].

  4. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦2x(x2+1)2f : x\mapsto 2x\left(x^{2}+1\right)^{2} sur l'intervalle [0 ; 1][0\,;\,1].

  5. Calculer la valeur moyenne mm de la fonction f:x↦3e−xf : x\mapsto 3e^{-x} sur l'intervalle [0 ; 3][0\,;\,3].

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Valeur moyenne : exponentielles, logarithme et composées

  1. m=1b−a∫abf(x) dx=12∫02ex dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}e^{x}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦exF : x\mapsto e^{x}, d'où ∫02f(x) dx=F(2)−F(0)=e2−1\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F(0)=e^{2}-1 et m=12×(e2−1)=12e2−12m=\dfrac{1}{2}\times\left(e^{2}-1\right)=\dfrac{1}{2}e^{2}-\dfrac{1}{2}.

  2. m=1b−a∫abf(x) dx=13∫141x dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{3}\int_{1}^{4}\dfrac{1}{x}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦ln⁡(x)F : x\mapsto \ln(x), d'où ∫14f(x) dx=F(4)−F(1)=2ln⁡2\displaystyle\int_{1}^{4}f(x)\,dx=F(4)-F(1)=2\ln 2 et m=13×(2ln⁡2)=23ln⁡2m=\dfrac{1}{3}\times\left(2\ln 2\right)=\dfrac{2}{3}\ln 2.

  3. m=1b−a∫abf(x) dx=12∫022e12x dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}2e^{\frac{1}{2}x}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦4e12xF : x\mapsto 4e^{\frac{1}{2}x}, d'où ∫02f(x) dx=F(2)−F(0)=4e−4\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F(0)=4e-4 et m=12×(4e−4)=2e−2m=\dfrac{1}{2}\times\left(4e-4\right)=2e-2.

  4. m=1b−a∫abf(x) dx=11∫012x(x2+1)2 dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{1}\int_{0}^{1}2x\left(x^{2}+1\right)^{2}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦13(x2+1)3F : x\mapsto \dfrac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3}, d'où ∫01f(x) dx=F(1)−F(0)=73\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0)=\dfrac{7}{3} et m=11×(73)=73m=\dfrac{1}{1}\times\left(\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{7}{3}.

  5. m=1b−a∫abf(x) dx=13∫033e−x dxm=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3}3e^{-x}\,dx. Une primitive de ff est F:x↦−3e−xF : x\mapsto -3e^{-x}, d'où ∫03f(x) dx=F(3)−F(0)=−3e−3+3\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,dx=F(3)-F(0)=-3e^{-3}+3 et m=13×(−3e−3+3)=−e−3+1m=\dfrac{1}{3}\times\left(-3e^{-3}+3\right)=-e^{-3}+1.