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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégrales avec valeur absolue

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{-1}^{3}|x-1|\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}|x^2-1|\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{5}|2x-4|\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{3}|x(x-2)|\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}|e^x-e|\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégrales avec valeur absolue

$|x-1|=1-x$ si $x\leq1$ et $x-1$ si $x\geq1$ . $\displaystyle\int_{-1}^1(1-x)dx=\left[x-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^1=2$ et $\displaystyle\int_1^3(x-1)dx=\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_1^3=2$ . Donc $I=4$ .
$x^2-1\leq0$ sur $[0\,;\,1]$ et $\geq0$ sur $[1\,;\,2]$ . $\displaystyle\int_0^1(1-x^2)dx=\dfrac23$ et $\displaystyle\int_1^2(x^2-1)dx=\left[\dfrac{x^3}3-x\right]_1^2=\dfrac43$ . Donc $I=2$ .
$|2x-4|=4-2x$ sur $[0\,;\,2]$ et $2x-4$ sur $[2\,;\,5]$ . $\displaystyle\int_0^2(4-2x)dx=\left[4x-x^2\right]_0^2=4$ et $\displaystyle\int_2^5(2x-4)dx=\left[x^2-4x\right]_2^5=9$ . Donc $I=13$ .
$x(x-2)\leq0$ sur $[0\,;\,2]$ et $\geq0$ sur $[2\,;\,3]$ . $\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)dx=\dfrac43$ et $\displaystyle\int_2^3(x^2-2x)dx=\dfrac43$ . Donc $I=\dfrac{8}{3}$ .
$e^x-e\leq0$ sur $[0\,;\,1]$ et $\geq0$ sur $[1\,;\,2]$ . $\displaystyle\int_0^1(e-e^x)dx=\left[ex-e^x\right]_0^1=1$ et $\displaystyle\int_1^2(e^x-e)dx=\left[e^x-ex\right]_1^2=e^2-2e-(e-e)=e^2-2e$ . Donc $I=e^{2}-2e+1$ .