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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Reconnaître u'/√u

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫03xx2+16 dxI=\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}\,dx.

  2. Calculer I=∫04xx2+9 dxI=\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx.

  3. Calculer I=∫0412x+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\,dx.

  4. Calculer I=∫023x2x3+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{3x^2}{\sqrt{x^3+1}}\,dx.

  5. Calculer I=∫0121x+4 dxI=\displaystyle\int_{0}^{12}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Reconnaître u'/√u

  1. Une primitive de f:x↦xx2+16f : x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}} est F:x↦x2+16F : x\mapsto \sqrt{x^2+16}. Donc I=[F(x)]03=F(3)−F(0)=1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{3}=F(3)-F(0)=1.

  2. Une primitive de f:x↦xx2+9f : x\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}} est F:x↦x2+9F : x\mapsto \sqrt{x^2+9}. Donc I=[F(x)]04=F(4)−F(0)=2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{4}=F(4)-F(0)=2.

  3. Une primitive de f:x↦12x+1f : x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} est F:x↦2x+1F : x\mapsto \sqrt{2x+1}. Donc I=[F(x)]04=F(4)−F(0)=2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{4}=F(4)-F(0)=2.

  4. Une primitive de f:x↦3x2x3+1f : x\mapsto \dfrac{3x^2}{\sqrt{x^3+1}} est F:x↦2x3+1F : x\mapsto 2\sqrt{x^3+1}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=4I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=4.

  5. Une primitive de f:x↦1x+4f : x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x+4}} est F:x↦2x+4F : x\mapsto 2\sqrt{x+4}. Donc I=[F(x)]012=F(12)−F(0)=4I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{12}=F(12)-F(0)=4.