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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Reconnaître u'·e^u

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫012xex2 dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}2xe^{x^2}\,dx.

  2. Calculer I=∫022xex2 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}2xe^{x^2}\,dx.

  3. Calculer I=∫01x e−x2 dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{-x^2}\,dx.

  4. Calculer I=∫022x e−x2 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}2x\,e^{-x^2}\,dx.

  5. Calculer I=∫013x2ex3 dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}3x^2e^{x^3}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Reconnaître u'·e^u

  1. Une primitive de f:x↦2xex2f : x\mapsto 2xe^{x^2} est F:x↦ex2F : x\mapsto e^{x^2}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=e−1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=e-1.

  2. Une primitive de f:x↦2xex2f : x\mapsto 2xe^{x^2} est F:x↦ex2F : x\mapsto e^{x^2}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=e4−1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=e^{4}-1.

  3. Une primitive de f:x↦x e−x2f : x\mapsto x\,e^{-x^2} est F:x↦−12e−x2F : x\mapsto -\dfrac{1}{2}e^{-x^2}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=−12e−1+12I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=-\dfrac{1}{2}e^{-1}+\dfrac{1}{2}.

  4. Une primitive de f:x↦2x e−x2f : x\mapsto 2x\,e^{-x^2} est F:x↦−1e−x2F : x\mapsto -1e^{-x^2}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=−e−4+1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=-e^{-4}+1.

  5. Une primitive de f:x↦3x2ex3f : x\mapsto 3x^2e^{x^3} est F:x↦ex3F : x\mapsto e^{x^3}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=e−1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=e-1.