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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Reconnaître u'/u (fonction trinôme)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫022xx2+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx.

  2. Calculer I=∫032xx2+3 dxI=\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{2x}{x^{2}+3}\,dx.

  3. Calculer I=∫034xx2+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{4x}{x^{2}+1}\,dx.

  4. Calculer I=∫024x2x2+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{4x}{2x^{2}+1}\,dx.

  5. Calculer I=∫022xx2+4 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{2x}{x^{2}+4}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Reconnaître u'/u (fonction trinôme)

  1. Une primitive de f:x↦2xx2+1f : x\mapsto \dfrac{2x}{x^{2}+1} est F:x↦ln⁡(x2+1)F : x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right). Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=ln⁡5I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=\ln 5.

  2. Une primitive de f:x↦2xx2+3f : x\mapsto \dfrac{2x}{x^{2}+3} est F:x↦ln⁡(x2+3)F : x\mapsto \ln\left(x^{2}+3\right). Donc I=[F(x)]03=F(3)−F(0)=2ln⁡2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{3}=F(3)-F(0)=2\ln 2.

  3. Une primitive de f:x↦4xx2+1f : x\mapsto \dfrac{4x}{x^{2}+1} est F:x↦2ln⁡(x2+1)F : x\mapsto 2\ln\left(x^{2}+1\right). Donc I=[F(x)]03=F(3)−F(0)=2ln⁡2+2ln⁡5I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{3}=F(3)-F(0)=2\ln 2+2\ln 5.

  4. Une primitive de f:x↦4x2x2+1f : x\mapsto \dfrac{4x}{2x^{2}+1} est F:x↦ln⁡(2x2+1)F : x\mapsto \ln\left(2x^{2}+1\right). Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=2ln⁡3I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=2\ln 3.

  5. Une primitive de f:x↦2xx2+4f : x\mapsto \dfrac{2x}{x^{2}+4} est F:x↦ln⁡(x2+4)F : x\mapsto \ln\left(x^{2}+4\right). Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=ln⁡2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=\ln 2.