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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Reconnaître u'/uⁿ (n ≥ 2)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{2x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{6x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{4x}{\left(2x^{2}+1\right)^{2}}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Reconnaître u'/uⁿ (n ≥ 2)

Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{2x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{1}{\left(x^{2}+2\right)}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=\dfrac{1}{3}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{6x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{3}{\left(x^{2}+1\right)}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{3}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{4x}{\left(2x^{2}+1\right)^{2}}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{1}{\left(2x^{2}+1\right)}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{2}{3}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{3}{8}$ .