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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Reconnaître u'·uⁿ

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}2x\left(x^{2}+1\right)^{3}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}2x\left(x^{2}-1\right)^{2}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}2x\left(\dfrac{1}{2}x^{2}+1\right)^{3}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}6x\left(3x^{2}+1\right)^{2}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}2x\left(x^{2}+4\right)^{1}\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Reconnaître u'·uⁿ

Une primitive de $f : x\mapsto 2x\left(x^{2}+1\right)^{3}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{4}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{15}{4}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2x\left(x^{2}-1\right)^{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{3}\left(x^{2}-1\right)^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=9$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2x\left(\dfrac{1}{2}x^{2}+1\right)^{3}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}x^{2}+1\right)^{4}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=40$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 6x\left(3x^{2}+1\right)^{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{3}\left(3x^{2}+1\right)^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=21$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2x\left(x^{2}+4\right)^{1}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+4\right)^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=24$ .