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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Puissances de (px+q)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}3\left(2x+1\right)^{2}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x+1\right)^{3}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}2\left(3x-1\right)^{2}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-x+2\right)^{3}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}5\left(2x+1\right)\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Puissances de (px+q)

Une primitive de $f : x\mapsto 3\left(2x+1\right)^{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}\left(2x+1\right)^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=13$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \left(x+1\right)^{3}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{4}\left(x+1\right)^{4}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=20$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2\left(3x-1\right)^{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{2}{9}\left(3x-1\right)^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=26$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \left(-x+2\right)^{3}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{1}{4}\left(-x+2\right)^{4}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{15}{4}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 5\left(2x+1\right)$ est $F : x\mapsto \dfrac{5}{4}\left(2x+1\right)^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=10$ .