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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégrales de cosinus

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}2\cos(x)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}3\cos(2x)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}6\cos(3x)\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégrales de cosinus

Une primitive de $f : x\mapsto \cos(x)$ est $F : x\mapsto \sin(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0)=1$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2\cos(x)$ est $F : x\mapsto 2\sin(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\pi}=F(\pi)-F(0)=0$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 3\cos(2x)$ est $F : x\mapsto \dfrac{3}{2}\sin(2x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}=F(\dfrac{\pi}{4})-F(0)=\dfrac{3}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \cos(x)$ est $F : x\mapsto \sin(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{-\dfrac{\pi}{2}}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(-\dfrac{\pi}{2})=2$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 6\cos(3x)$ est $F : x\mapsto 2\sin(3x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}=F(\dfrac{\pi}{6})-F(0)=2$ .