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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Intégrales de sinus

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫0πsin⁡(x) dxI=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx.

  2. Calculer I=∫0π22sin⁡(x) dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}2\sin(x)\,dx.

  3. Calculer I=∫0π23sin⁡(2x) dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}3\sin(2x)\,dx.

  4. Calculer I=∫0π3sin⁡(3x) dxI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\sin(3x)\,dx.

  5. Calculer I=∫π2π4sin⁡(x) dxI=\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}4\sin(x)\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Intégrales de sinus

  1. Une primitive de f:x↦sin⁡(x)f : x\mapsto \sin(x) est F:x↦−cos⁡(x)F : x\mapsto -\cos(x). Donc I=[F(x)]0π=F(π)−F(0)=2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\pi}=F(\pi)-F(0)=2.

  2. Une primitive de f:x↦2sin⁡(x)f : x\mapsto 2\sin(x) est F:x↦−2cos⁡(x)F : x\mapsto -2\cos(x). Donc I=[F(x)]0π2=F(π2)−F(0)=2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0)=2.

  3. Une primitive de f:x↦3sin⁡(2x)f : x\mapsto 3\sin(2x) est F:x↦−32cos⁡(2x)F : x\mapsto -\dfrac{3}{2}\cos(2x). Donc I=[F(x)]0π2=F(π2)−F(0)=3I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}=F(\dfrac{\pi}{2})-F(0)=3.

  4. Une primitive de f:x↦sin⁡(3x)f : x\mapsto \sin(3x) est F:x↦−13cos⁡(3x)F : x\mapsto -\dfrac{1}{3}\cos(3x). Donc I=[F(x)]0π3=F(π3)−F(0)=23I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}=F(\dfrac{\pi}{3})-F(0)=\dfrac{2}{3}.

  5. Une primitive de f:x↦4sin⁡(x)f : x\mapsto 4\sin(x) est F:x↦−4cos⁡(x)F : x\mapsto -4\cos(x). Donc I=[F(x)]π2π=F(2π)−F(π)=−8I=\Big[F(x)\Big]_{\pi}^{2\pi}=F(2\pi)-F(\pi)=-8.