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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Somme d'exponentielles et de polynômes

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(e^{x}+2x\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(e^{2x}+3x^{2}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(2e^{-x}+1\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(3e^{x}+x+1\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(e^{-2x}+4x^{3}\right)\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Somme d'exponentielles et de polynômes

Une primitive de $f : x\mapsto e^{x}+2x$ est $F : x\mapsto e^{x}+x^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=e$ .
Une primitive de $f : x\mapsto e^{2x}+3x^{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}e^{2x}+x^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}e^{2}+\dfrac{1}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 2e^{-x}+1$ est $F : x\mapsto -2e^{-x}+x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=-2e^{-2}+4$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 3e^{x}+x+1$ est $F : x\mapsto 3e^{x}+\dfrac{1}{2}x^{2}+x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=3e^{2}+1$ .
Une primitive de $f : x\mapsto e^{-2x}+4x^{3}$ est $F : x\mapsto -\dfrac{1}{2}e^{-2x}+x^{4}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=-\dfrac{1}{2}e^{-2}+\dfrac{3}{2}$ .