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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Exponentielles e^{kx+m}

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫01e2x+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{2x+1}\,dx.

  2. Calculer I=∫023ex−2 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}3e^{x-2}\,dx.

  3. Calculer I=∫012e−x+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}2e^{-x+1}\,dx.

  4. Calculer I=∫015e3x−1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}5e^{3x-1}\,dx.

  5. Calculer I=∫02e12x+1 dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}e^{\frac{1}{2}x+1}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Exponentielles e^{kx+m}

  1. Une primitive de f:x↦e2x+1f : x\mapsto e^{2x+1} est F:x↦12e2x+1F : x\mapsto \dfrac{1}{2}e^{2x+1}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=12e3−12eI=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}e^{3}-\dfrac{1}{2}e.

  2. Une primitive de f:x↦3ex−2f : x\mapsto 3e^{x-2} est F:x↦3ex−2F : x\mapsto 3e^{x-2}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=−3e−2+3I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=-3e^{-2}+3.

  3. Une primitive de f:x↦2e−x+1f : x\mapsto 2e^{-x+1} est F:x↦−2e−x+1F : x\mapsto -2e^{-x+1}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=2e−2I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=2e-2.

  4. Une primitive de f:x↦5e3x−1f : x\mapsto 5e^{3x-1} est F:x↦53e3x−1F : x\mapsto \dfrac{5}{3}e^{3x-1}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=53e2−53e−1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{5}{3}e^{2}-\dfrac{5}{3}e^{-1}.

  5. Une primitive de f:x↦e12x+1f : x\mapsto e^{\frac{1}{2}x+1} est F:x↦2e12x+1F : x\mapsto 2e^{\frac{1}{2}x+1}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=2e2−2eI=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=2e^{2}-2e.