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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Exponentielles e^{kx}

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫01ex dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}\,dx.

  2. Calculer I=∫013e2x dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}3e^{2x}\,dx.

  3. Calculer I=∫02e−x dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}e^{-x}\,dx.

  4. Calculer I=∫−104e−2x dxI=\displaystyle\int_{-1}^{0}4e^{-2x}\,dx.

  5. Calculer I=∫022e12x dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}2e^{\frac{1}{2}x}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Exponentielles e^{kx}

  1. Une primitive de f:x↦exf : x\mapsto e^{x} est F:x↦exF : x\mapsto e^{x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=e−1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=e-1.

  2. Une primitive de f:x↦3e2xf : x\mapsto 3e^{2x} est F:x↦32e2xF : x\mapsto \dfrac{3}{2}e^{2x}. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=32e2−32I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=\dfrac{3}{2}e^{2}-\dfrac{3}{2}.

  3. Une primitive de f:x↦e−xf : x\mapsto e^{-x} est F:x↦−e−xF : x\mapsto -e^{-x}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=−e−2+1I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=-e^{-2}+1.

  4. Une primitive de f:x↦4e−2xf : x\mapsto 4e^{-2x} est F:x↦−2e−2xF : x\mapsto -2e^{-2x}. Donc I=[F(x)]−10=F(0)−F(−1)=2e2−2I=\Big[F(x)\Big]_{-1}^{0}=F(0)-F(-1)=2e^{2}-2.

  5. Une primitive de f:x↦2e12xf : x\mapsto 2e^{\frac{1}{2}x} est F:x↦4e12xF : x\mapsto 4e^{\frac{1}{2}x}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=4e−4I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=4e-4.