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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Somme d'un polynôme et d'un terme en 1/x

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{3}\left(2x+1+\dfrac{2}{x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{4}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(3+\dfrac{3}{x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{2}^{4}\left(x^{2}+\dfrac{4}{x}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{5}\left(3x^{2}+1+\dfrac{2}{x}\right)\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Somme d'un polynôme et d'un terme en 1/x

Une primitive de $f : x\mapsto 2x+1+\dfrac{2}{x}$ est $F : x\mapsto x^{2}+x+2\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{3}=F(3)-F(1)=2\ln 3+10$ .
Une primitive de $f : x\mapsto x+\dfrac{1}{x}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}+\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{4}=F(4)-F(1)=2\ln 2+\dfrac{15}{2}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 3+\dfrac{3}{x}$ est $F : x\mapsto 3x+3\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=3\ln 2+3$ .
Une primitive de $f : x\mapsto x^{2}+\dfrac{4}{x}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{3}x^{3}+4\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{2}^{4}=F(4)-F(2)=4\ln 2+\dfrac{56}{3}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto 3x^{2}+1+\dfrac{2}{x}$ est $F : x\mapsto x^{3}+x+2\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{5}=F(5)-F(1)=2\ln 5+128$ .