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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Logarithme népérien : intégrales de c/(x+d)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{2}{x+1}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{3}{x}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{4}\dfrac{1}{x+2}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{2}^{5}\dfrac{5}{x-1}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{4}{x+3}\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Logarithme népérien : intégrales de c/(x+d)

Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{2}{x+1}$ est $F : x\mapsto 2\ln(x+1)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=2\ln 3$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{3}{x}$ est $F : x\mapsto 3\ln(x)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=3\ln 2$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{x+2}$ est $F : x\mapsto \ln(x+2)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{4}=F(4)-F(0)=\ln 3$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{5}{x-1}$ est $F : x\mapsto 5\ln(x-1)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{2}^{5}=F(5)-F(2)=10\ln 2$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{4}{x+3}$ est $F : x\mapsto 4\ln(x+3)$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{3}=F(3)-F(0)=4\ln 2$ .