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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Racines carrées

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫04x dxI=\displaystyle\int_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx.

  2. Calculer I=∫193x dxI=\displaystyle\int_{1}^{9}3\sqrt{x}\,dx.

  3. Calculer I=∫04xx dxI=\displaystyle\int_{0}^{4}x\sqrt{x}\,dx.

  4. Calculer I=∫142x dxI=\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{2}{\sqrt{x}}\,dx.

  5. Calculer I=∫196x dxI=\displaystyle\int_{1}^{9}\dfrac{6}{\sqrt{x}}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Racines carrées

  1. Une primitive de f:x↦xf : x\mapsto \sqrt{x} est F:x↦23 xxF : x\mapsto \dfrac{2}{3}\,x\sqrt{x}. Donc I=[F(x)]04=F(4)−F(0)=163I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{4}=F(4)-F(0)=\dfrac{16}{3}.

  2. Une primitive de f:x↦3xf : x\mapsto 3\sqrt{x} est F:x↦2 xxF : x\mapsto 2\,x\sqrt{x}. Donc I=[F(x)]19=F(9)−F(1)=52I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{9}=F(9)-F(1)=52.

  3. Une primitive de f:x↦xxf : x\mapsto x\sqrt{x} est F:x↦25 x2xF : x\mapsto \dfrac{2}{5}\,x^2\sqrt{x}. Donc I=[F(x)]04=F(4)−F(0)=645I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{4}=F(4)-F(0)=\dfrac{64}{5}.

  4. Une primitive de f:x↦2xf : x\mapsto \dfrac{2}{\sqrt{x}} est F:x↦4xF : x\mapsto 4\sqrt{x}. Donc I=[F(x)]14=F(4)−F(1)=4I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{4}=F(4)-F(1)=4.

  5. Une primitive de f:x↦6xf : x\mapsto \dfrac{6}{\sqrt{x}} est F:x↦12xF : x\mapsto 12\sqrt{x}. Donc I=[F(x)]19=F(9)−F(1)=24I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{9}=F(9)-F(1)=24.