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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Puissances négatives de x

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫144x2 dxI=\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{4}{x^2}\,dx.

  2. Calculer I=∫136x2 dxI=\displaystyle\int_{1}^{3}\dfrac{6}{x^2}\,dx.

  3. Calculer I=∫122x3 dxI=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{2}{x^3}\,dx.

  4. Calculer I=∫251x2 dxI=\displaystyle\int_{2}^{5}\dfrac{1}{x^2}\,dx.

  5. Calculer I=∫155x2 dxI=\displaystyle\int_{1}^{5}\dfrac{5}{x^2}\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Puissances négatives de x

  1. Une primitive de f:x↦4x2f : x\mapsto \dfrac{4}{x^2} est F:x↦−4xF : x\mapsto -\dfrac{4}{x}. Donc I=[F(x)]14=F(4)−F(1)=3I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{4}=F(4)-F(1)=3.

  2. Une primitive de f:x↦6x2f : x\mapsto \dfrac{6}{x^2} est F:x↦−6xF : x\mapsto -\dfrac{6}{x}. Donc I=[F(x)]13=F(3)−F(1)=4I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{3}=F(3)-F(1)=4.

  3. Une primitive de f:x↦2x3f : x\mapsto \dfrac{2}{x^3} est F:x↦−1x2F : x\mapsto -\dfrac{1}{x^2}. Donc I=[F(x)]12=F(2)−F(1)=34I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=\dfrac{3}{4}.

  4. Une primitive de f:x↦1x2f : x\mapsto \dfrac{1}{x^2} est F:x↦−1xF : x\mapsto -\dfrac{1}{x}. Donc I=[F(x)]25=F(5)−F(2)=310I=\Big[F(x)\Big]_{2}^{5}=F(5)-F(2)=\dfrac{3}{10}.

  5. Une primitive de f:x↦5x2f : x\mapsto \dfrac{5}{x^2} est F:x↦−5xF : x\mapsto -\dfrac{5}{x}. Donc I=[F(x)]15=F(5)−F(1)=4I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{5}=F(5)-F(1)=4.