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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Polynômes à coefficients fractionnaires

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{3}\left(\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{3}{4}x^{2}\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{3}\left(\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{2}{3}\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{1}{5}x\right)\,dx$ .
Calculer $I=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)\,dx$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Polynômes à coefficients fractionnaires

Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{6}x^{2}+\dfrac{1}{2}x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{3}=F(3)-F(0)=3$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{3}{4}x^{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{4}x^{3}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=2$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{2}{3}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{6}x^{3}+\dfrac{2}{3}x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{3}=F(3)-F(1)=\dfrac{17}{3}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{1}{5}x$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{10}x^{5}+\dfrac{1}{10}x^{2}$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=\dfrac{18}{5}$ .
Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}$ est $F : x\mapsto \dfrac{1}{12}x^{3}+\dfrac{3}{4}x^{2}-\dfrac{1}{2}x$ . Donc $I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=\dfrac{8}{3}$ .