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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Polynômes (bornes de signes quelconques)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫−11(3x2+2x+1) dxI=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3x^{2}+2x+1\right)\,dx.

  2. Calculer I=∫−206x2 dxI=\displaystyle\int_{-2}^{0}6x^{2}\,dx.

  3. Calculer I=∫−33(−x+3) dxI=\displaystyle\int_{-3}^{3}\left(-x+3\right)\,dx.

  4. Calculer I=∫−22x3 dxI=\displaystyle\int_{-2}^{2}x^{3}\,dx.

  5. Calculer I=∫−12(x3−3x2+2) dxI=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-3x^{2}+2\right)\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Polynômes (bornes de signes quelconques)

  1. Une primitive de f:x↦3x2+2x+1f : x\mapsto 3x^{2}+2x+1 est F:x↦x3+x2+xF : x\mapsto x^{3}+x^{2}+x. Donc I=[F(x)]−11=F(1)−F(−1)=4I=\Big[F(x)\Big]_{-1}^{1}=F(1)-F(-1)=4.

  2. Une primitive de f:x↦6x2f : x\mapsto 6x^{2} est F:x↦2x3F : x\mapsto 2x^{3}. Donc I=[F(x)]−20=F(0)−F(−2)=16I=\Big[F(x)\Big]_{-2}^{0}=F(0)-F(-2)=16.

  3. Une primitive de f:x↦−x+3f : x\mapsto -x+3 est F:x↦−12x2+3xF : x\mapsto -\dfrac{1}{2}x^{2}+3x. Donc I=[F(x)]−33=F(3)−F(−3)=18I=\Big[F(x)\Big]_{-3}^{3}=F(3)-F(-3)=18.

  4. Une primitive de f:x↦x3f : x\mapsto x^{3} est F:x↦14x4F : x\mapsto \dfrac{1}{4}x^{4}. Donc I=[F(x)]−22=F(2)−F(−2)=0I=\Big[F(x)\Big]_{-2}^{2}=F(2)-F(-2)=0.

  5. Une primitive de f:x↦x3−3x2+2f : x\mapsto x^{3}-3x^{2}+2 est F:x↦14x4−x3+2xF : x\mapsto \dfrac{1}{4}x^{4}-x^{3}+2x. Donc I=[F(x)]−12=F(2)−F(−1)=34I=\Big[F(x)\Big]_{-1}^{2}=F(2)-F(-1)=\dfrac{3}{4}.