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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Polynômes (bornes positives)

Dans cet exercice, on calcule des intégrales à l'aide de primitives : si FF est une primitive de ff sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a).

  1. Calculer I=∫026x dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}6x\,dx.

  2. Calculer I=∫01(3x2+2) dxI=\displaystyle\int_{0}^{1}\left(3x^{2}+2\right)\,dx.

  3. Calculer I=∫03(x2−x+1) dxI=\displaystyle\int_{0}^{3}\left(x^{2}-x+1\right)\,dx.

  4. Calculer I=∫124x3 dxI=\displaystyle\int_{1}^{2}4x^{3}\,dx.

  5. Calculer I=∫02(x3−2x+5) dxI=\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x^{3}-2x+5\right)\,dx.

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Polynômes (bornes positives)

  1. Une primitive de f:x↦6xf : x\mapsto 6x est F:x↦3x2F : x\mapsto 3x^{2}. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=12I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=12.

  2. Une primitive de f:x↦3x2+2f : x\mapsto 3x^{2}+2 est F:x↦x3+2xF : x\mapsto x^{3}+2x. Donc I=[F(x)]01=F(1)−F(0)=3I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{1}=F(1)-F(0)=3.

  3. Une primitive de f:x↦x2−x+1f : x\mapsto x^{2}-x+1 est F:x↦13x3−12x2+xF : x\mapsto \dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}+x. Donc I=[F(x)]03=F(3)−F(0)=152I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{3}=F(3)-F(0)=\dfrac{15}{2}.

  4. Une primitive de f:x↦4x3f : x\mapsto 4x^{3} est F:x↦x4F : x\mapsto x^{4}. Donc I=[F(x)]12=F(2)−F(1)=15I=\Big[F(x)\Big]_{1}^{2}=F(2)-F(1)=15.

  5. Une primitive de f:x↦x3−2x+5f : x\mapsto x^{3}-2x+5 est F:x↦14x4−x2+5xF : x\mapsto \dfrac{1}{4}x^{4}-x^{2}+5x. Donc I=[F(x)]02=F(2)−F(0)=10I=\Big[F(x)\Big]_{0}^{2}=F(2)-F(0)=10.