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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Cube : vrai ou faux

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB→, AD→, AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right). Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 1 ; 0)C(1\,;\,1\,;\,0), D(0 ; 1 ; 0)D(0\,;\,1\,;\,0), E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1), F(1 ; 0 ; 1)F(1\,;\,0\,;\,1), G(1 ; 1 ; 1)G(1\,;\,1\,;\,1) et H(0 ; 1 ; 1)H(0\,;\,1\,;\,1). Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation fausse doit être justifiée.

  1. Affirmation. Les droites (AB)(AB) et (HG)(HG) sont parallèles.

  2. Affirmation. Les droites (AG)(AG) et (BH)(BH) sont orthogonales.

  3. Affirmation. Le milieu OO de [AG][AG] appartient à la droite (BH)(BH).

  4. Affirmation. Les plans (ACH)(ACH) et (BEG)(BEG) sont parallèles.

  5. Affirmation. Les plans (ACH)(ACH) et (BDG)(BDG) sont parallèles.

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Cube : vrai ou faux

  1. Vraie. AB→(1,0,0)\overrightarrow{AB}(1,0,0) et HG→(1,0,0)\overrightarrow{HG}(1,0,0) sont égaux, donc colinéaires. Les droites sont parallèles (ABGHABGH est un rectangle) et distinctes, car A∉(HG)A\notin(HG).

  2. Fausse. AG→(1,1,1)\overrightarrow{AG}(1,1,1) et BH→(−1,1,1)\overrightarrow{BH}(-1,1,1) ont pour produit scalaire −1+1+1=1≠0-1+1+1=1\neq0. Elles ne sont donc pas orthogonales (ce sont deux diagonales du cube, sécantes en son centre, mais pas perpendiculaires).

  3. Vraie. O(12 ; 12 ; 12)O\left(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,\dfrac12\right) et BO→(−12,12,12)=12BH→\overrightarrow{BO}\left(-\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12\right)=\dfrac12\overrightarrow{BH} : BB, OO, HH sont alignés. (Les diagonales du cube se coupent en leur milieu.)

  4. Vraie. Le vecteur n⃗(1;−1;1)\vec n(1;-1;1) est normal à (ACH)(ACH) : n⃗⋅AC→=1−1+0=0\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=1-1+0=0 et n⃗⋅AH→=0−1+1=0\vec n\cdot\overrightarrow{AH}=0-1+1=0, avec AC→(1;1;0)\overrightarrow{AC}(1;1;0) et AH→(0;1;1)\overrightarrow{AH}(0;1;1) non colinéaires. Il est aussi normal à (BEG)(BEG) : n⃗⋅BE→=−1+0+1=0\vec n\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0 et n⃗⋅BG→=0−1+1=0\vec n\cdot\overrightarrow{BG}=0-1+1=0. Les deux plans ont le même vecteur normal : ils sont parallèles. Ils sont distincts car A∈(ACH)A\in(ACH) mais A∉(BEG)A\notin(BEG) (dont une équation est x−y+z−1=0x-y+z-1=0 : 0−0+0−1≠00-0+0-1\neq0).

  5. Fausse. Un vecteur normal de (ACH)(ACH) est (1;−1;1)(1;-1;1) (question précédente). Le vecteur m⃗(1;1;−1)\vec m(1;1;-1) est normal à (BDG)(BDG) : m⃗⋅BD→=−1+1+0=0\vec m\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0 et m⃗⋅BG→=0+1−1=0\vec m\cdot\overrightarrow{BG}=0+1-1=0. Les vecteurs (1;−1;1)(1;-1;1) et (1;1;−1)(1;1;-1) ne sont pas colinéaires : les plans ne sont pas parallèles, ils sont sécants.