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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 30 min

Droite, projetés orthogonaux et distances

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la droite (d)(d) passant par A(1 ; 0 ; 2)A(1\,;\,0\,;\,2) et dirigée par u⃗(1,2,−1)\vec u(1,2,-1).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (d)(d) passant par A(1 ; 0 ; 2)A(1\,;\,0\,;\,2) et dirigée par u⃗(1,2,−1)\vec u(1,2,-1).

  2. Soit M(4 ; 1 ; 3)M(4\,;\,1\,;\,3). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal HH de MM sur la droite (d)(d).

  3. Calculer la distance du point MM à la droite (d)(d).

  4. Soit (Q)(Q) le plan d'équation 2x−y+2z=42x-y+2z=4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ)(\Delta) passant par MM et orthogonale à (Q)(Q), puis les coordonnées du projeté orthogonal KK de MM sur (Q)(Q).

  5. Déterminer l'intersection de la droite (d)(d) avec le plan (R)(R) d'équation x+y+z=6x+y+z=6.

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 30 min

Corrigé — Droite, projetés orthogonaux et distances

  1. AM→=t u⃗\overrightarrow{AM}=t\,\vec u donne :

    {x=1+ty=2tz=2−t(t∈R)\begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=2-t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}).

  2. Un point de (d)(d) est H(1+t ; 2t ; 2−t)H(1+t\,;\,2t\,;\,2-t), donc MH→(t−32t−1−1−t)\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}t-3\\2t-1\\-1-t\end{pmatrix}.

    MH→⋅u⃗=(t−3)+2(2t−1)−(−1−t)=6t−4\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=(t-3)+2(2t-1)-(-1-t)=6t-4. Cette quantité est nulle pour t=23t=\dfrac23.

    Ainsi H(53 ; 43 ; 43)H\left(\dfrac53\,;\,\dfrac43\,;\,\dfrac43\right).

  3. MH→(−7313−53)\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}-\frac73\\\frac13\\-\frac53\end{pmatrix} donc MH2=49+1+259=759MH^2=\dfrac{49+1+25}{9}=\dfrac{75}{9} et MH=533≈2,89MH=\dfrac{5\sqrt3}{3}\approx2{,}89.

  4. Un vecteur normal à (Q)(Q) est n⃗(2,−1,2)\vec n(2,-1,2), qui dirige (Δ)(\Delta) :

    {x=4+2sy=1−sz=3+2s(s∈R)\begin{cases}x=4+2s\\y=1-s\\z=3+2s\end{cases}\quad(s\in\mathbb{R}).

    Intersection avec (Q)(Q) : 2(4+2s)−(1−s)+2(3+2s)=42(4+2s)-(1-s)+2(3+2s)=4, soit 13+9s=413+9s=4 et s=−1s=-1.

    Ainsi K(2 ; 2 ; 1)K(2\,;\,2\,;\,1). Vérification : 4−2+2=44-2+2=4 ✓.

  5. Un point de (d)(d) vérifie l'équation de (R)(R) si (1+t)+2t+(2−t)=6(1+t)+2t+(2-t)=6, soit 3+2t=63+2t=6 et t=32t=\dfrac32.

    Le point d'intersection est (52 ; 3 ; 12)\left(\dfrac52\,;\,3\,;\,\dfrac12\right).