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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 30 min

Représentations paramétriques : droites et plan

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(2 ; −1 ; 0)A(2\,;\,-1\,;\,0) et B(5 ; 1 ; −3)B(5\,;\,1\,;\,-3).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB).

  2. Les points C(−1 ; −3 ; 3)C(-1\,;\,-3\,;\,3) et D(8 ; 3 ; −5)D(8\,;\,3\,;\,-5) appartiennent-ils à la droite (AB)(AB) ?

  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (AB)(AB) avec le plan (P)(P) d'équation x+y−z=3x+y-z=3.

  4. Donner une représentation paramétrique de la droite (d′)(d') passant par E(0 ; 1 ; 1)E(0\,;\,1\,;\,1) et dirigée par v⃗(1,0,1)\vec v(1,0,1).

  5. Étudier la position relative des droites (AB)(AB) et (d′)(d').

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 30 min

Corrigé — Représentations paramétriques : droites et plan

  1. AB→(3,2,−3)\overrightarrow{AB}(3,2,-3). Un point M(x ; y ; z)M(x\,;\,y\,;\,z) est sur (AB)(AB) si et seulement si AM→=t AB→\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{AB} avec t∈Rt\in\mathbb{R}, d'où :

    {x=2+3ty=−1+2tz=−3t(t∈R)\begin{cases}x=2+3t\\y=-1+2t\\z=-3t\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}).

  2. Pour CC : 2+3t=−12+3t=-1 donne t=−1t=-1. Alors y=−1+2(−1)=−3y=-1+2(-1)=-3 ✓ et z=−3(−1)=3z=-3(-1)=3 ✓. Donc C∈(AB)C\in(AB).

    Pour DD : 2+3t=82+3t=8 donne t=2t=2. Alors y=−1+4=3y=-1+4=3 ✓ mais z=−3×2=−6≠−5z=-3\times2=-6\neq-5. Donc D∉(AB)D\notin(AB).

  3. On remplace : (2+3t)+(−1+2t)−(−3t)=3(2+3t)+(-1+2t)-(-3t)=3, c'est-à-dire 1+8t=31+8t=3, donc t=14t=\dfrac14.

    Le point est (2+34 ; −1+12 ; −34)=(114 ; −12 ; −34)\left(2+\dfrac34\,;\,-1+\dfrac12\,;\,-\dfrac34\right)=\left(\dfrac{11}{4}\,;\,-\dfrac12\,;\,-\dfrac34\right).

    Vérification : 114−12+34=11−2+34=3\dfrac{11}{4}-\dfrac12+\dfrac34=\dfrac{11-2+3}{4}=3 ✓.

  4. M∈(d′)  ⟺  EM→=s v⃗M\in(d')\iff\overrightarrow{EM}=s\,\vec v, soit {x=sy=1z=1+s(s∈R)\begin{cases}x=s\\y=1\\z=1+s\end{cases}\quad(s\in\mathbb{R}).

  5. AB→(3,2,−3)\overrightarrow{AB}(3,2,-3) et v⃗(1,0,1)\vec v(1,0,1) ne sont pas colinéaires : les droites ne sont ni parallèles ni confondues.

    Point commun : on résout {2+3t=s−1+2t=1−3t=1+s\begin{cases}2+3t=s\\-1+2t=1\\-3t=1+s\end{cases}. La deuxième équation donne t=1t=1, la première s=5s=5, et la troisième donne −3=1+5=6-3=1+5=6 : faux. Le système n'a pas de solution.

    Les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires.