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Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Cube : la diagonale (AG) et le plan (BDE)

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB→, AD→, AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right). Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 1 ; 0)C(1\,;\,1\,;\,0), D(0 ; 1 ; 0)D(0\,;\,1\,;\,0), E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1), F(1 ; 0 ; 1)F(1\,;\,0\,;\,1), G(1 ; 1 ; 1)G(1\,;\,1\,;\,1) et H(0 ; 1 ; 1)H(0\,;\,1\,;\,1).

  1. Donner les coordonnées des vecteurs AG→\overrightarrow{AG}, BD→\overrightarrow{BD} et BE→\overrightarrow{BE}.

  2. Montrer que la droite (AG)(AG) est orthogonale au plan (BDE)(BDE).

  3. En déduire une équation cartésienne du plan (BDE)(BDE).

  4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection KK de la droite (AG)(AG) et du plan (BDE)(BDE).

  5. Calculer la distance AKAK et la comparer à AGAG. Que représente KK pour le point AA et le plan (BDE)(BDE) ?

Niveau 2 — Géométrie dans l’espace — 25 min

Corrigé — Cube : la diagonale (AG) et le plan (BDE)

  1. AG→(111)\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, BD→(−110)\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} et BE→(−101)\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

  2. AG→⋅BD→=−1+1+0=0\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0 et AG→⋅BE→=−1+0+1=0\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0.

    BD→(−1,1,0)\overrightarrow{BD}(-1,1,0) et BE→(−1,0,1)\overrightarrow{BE}(-1,0,1) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de BD→\overrightarrow{BD} est nulle mais pas celle de BE→\overrightarrow{BE}). Ce sont donc deux vecteurs directeurs de droites sécantes du plan (BDE)(BDE), et (AG)(AG) leur est orthogonale : (AG)(AG) est orthogonale au plan (BDE)(BDE).

    Ainsi AG→(1,1,1)\overrightarrow{AG}(1,1,1) est un vecteur normal à (BDE)(BDE).

  3. Un vecteur normal est AG→(1,1,1)\overrightarrow{AG}(1,1,1), donc le plan a une équation de la forme x+y+z+d=0x+y+z+d=0. Comme B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0) appartient au plan : 1+d=01+d=0, donc d=−1d=-1.

    (BDE):x+y+z−1=0(BDE) : x+y+z-1=0.

    Vérification avec D(0 ; 1 ; 0)D(0\,;\,1\,;\,0) : 0+1+0−1=00+1+0-1=0 ✓ et avec E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1) : 0+0+1−1=00+0+1-1=0 ✓.

  4. (AG)(AG) passe par A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0) et est dirigée par AG→(1,1,1)\overrightarrow{AG}(1,1,1) : {x=ty=tz=t\begin{cases}x=t\\y=t\\z=t\end{cases} avec t∈Rt\in\mathbb{R}.

    Un point de la droite est dans (BDE)(BDE) si t+t+t−1=0t+t+t-1=0, soit t=13t=\dfrac13.

    Ainsi K(13 ; 13 ; 13)K\left(\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac13\right).

  5. AK→(13,13,13)\overrightarrow{AK}\left(\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13\right) donc AK=3×19=33AK=\sqrt{3\times\dfrac19}=\dfrac{\sqrt3}{3}. Et AG=3AG=\sqrt3, donc AK=13AGAK=\dfrac13AG.

    Comme (AG)(AG) est orthogonale au plan (BDE)(BDE) et coupe ce plan en KK, KK est le projeté orthogonal de AA sur le plan (BDE)(BDE) et la distance de AA à ce plan est AK=33AK=\dfrac{\sqrt3}{3}.