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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Calcul vectoriel dans le cube

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB→, AD→, AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right). Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 1 ; 0)C(1\,;\,1\,;\,0), D(0 ; 1 ; 0)D(0\,;\,1\,;\,0), E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1), F(1 ; 0 ; 1)F(1\,;\,0\,;\,1), G(1 ; 1 ; 1)G(1\,;\,1\,;\,1) et H(0 ; 1 ; 1)H(0\,;\,1\,;\,1).

  1. Exprimer AG→\overrightarrow{AG} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD} et AE→\overrightarrow{AE}.

  2. Montrer que EG→=AC→\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}.

  3. Donner les coordonnées de EC→\overrightarrow{EC} et de BH→\overrightarrow{BH} dans le repère (A ; AB→, AD→, AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right).

  4. Simplifier la somme AB→+BC→+CG→+GH→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GH}.

  5. Montrer que AH→=BG→\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG} et en déduire la nature du quadrilatère ABGHABGH.

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Calcul vectoriel dans le cube

  1. Par la relation de Chasles : AG→=AB→+BC→+CG→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}. Comme ABCDABCD est un carré, BC→=AD→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} ; comme ABCDEFGHABCDEFGH est un cube, CG→=AE→\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}.

    Donc AG→=AB→+AD→+AE→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.

  2. EG→=EF→+FG→\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG} avec EF→=AB→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB} et FG→=BC→\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{BC}. Donc EG→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. (Géométriquement, ACGEACGE est un rectangle.)

  3. EC→(11−1)\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} et BH→(−111)\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

  4. Par Chasles successivement : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, puis +CG→=AG→+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}, puis +GH→=AH→+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}. La somme est AH→\overrightarrow{AH}.

  5. AH→=AD→+AE→\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} (car HH est le sommet opposé de AA dans la face ADHEADHE) et BG→=BC→+CG→=AD→+AE→\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}. Donc AH→=BG→\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG} : ABGHABGH est un parallélogramme.

    De plus, AB→⋅AH→=AB→⋅(AD→+AE→)=0+0=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE})=0+0=0 : l'angle en AA est droit. ABGHABGH est un rectangle.