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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Droite et plan : parallélisme et orthogonalité

Dans cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

  1. La droite (d1)(d_1) passe par A(1 ; 2 ; 3)A(1\,;\,2\,;\,3) et est dirigée par u⃗(2,−1,1)\vec u(2,-1,1). Le plan (P1)(P_1) a pour équation x+2y=5x+2y=5. Quelle est leur position relative ?

  2. La droite (d2)(d_2) passe par B(0 ; 0 ; 1)B(0\,;\,0\,;\,1) et est dirigée par v⃗(1,1,0)\vec v(1,1,0). Le plan (P2)(P_2) a pour équation x−y+z=3x-y+z=3. Quelle est leur position relative ?

  3. La droite (d3)(d_3) passe par C(1 ; 0 ; 0)C(1\,;\,0\,;\,0) et est dirigée par w⃗(1,2,−1)\vec w(1,2,-1). Le plan (P3)(P_3) a pour équation x+y+z=1x+y+z=1. Quelle est leur position relative ?

  4. La droite (d4)(d_4) est dirigée par t⃗(2,−4,6)\vec t(2,-4,6). Le plan (P4)(P_4) a pour équation x−2y+3z=7x-2y+3z=7. Montrer que (d4)(d_4) est orthogonale à (P4)(P_4).

  5. Déterminer mm pour que la droite dirigée par u⃗(m,1,2)\vec u(m,1,2) soit parallèle au plan d'équation x+2y−z=0x+2y-z=0.

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Droite et plan : parallélisme et orthogonalité

  1. Un vecteur normal de (P1)(P_1) est n⃗(1,2,0)\vec n(1,2,0) et u⃗⋅n⃗=2−2+0=0\vec u\cdot\vec n=2-2+0=0 : (d1)(d_1) est parallèle à (P1)(P_1) (ou incluse).

    Or A∈(P1)A\in(P_1) car 1+4=51+4=5. La droite (d1)(d_1) est donc contenue dans (P1)(P_1).

  2. Un vecteur normal de (P2)(P_2) est n⃗(1,−1,1)\vec n(1,-1,1) et v⃗⋅n⃗=1−1+0=0\vec v\cdot\vec n=1-1+0=0 : (d2)(d_2) est parallèle à (P2)(P_2) ou incluse.

    BB vérifie-t-il l'équation ? 0−0+1=1≠30-0+1=1\neq3 : B∉(P2)B\notin(P_2). La droite est strictement parallèle au plan.

  3. n⃗(1,1,1)\vec n(1,1,1) et w⃗⋅n⃗=1+2−1=2≠0\vec w\cdot\vec n=1+2-1=2\neq0 : la droite n'est pas parallèle au plan. Elle est donc sécante au plan en un seul point.

  4. Un vecteur normal de (P4)(P_4) est n⃗(1,−2,3)\vec n(1,-2,3) et t⃗=2n⃗\vec t=2\vec n. Les vecteurs sont colinéaires : (d4)(d_4) est orthogonale à (P4)(P_4).

  5. Un vecteur normal du plan est n⃗(1,2,−1)\vec n(1,2,-1). La droite est parallèle au plan si et seulement si u⃗⋅n⃗=0\vec u\cdot\vec n=0 : m+2−2=0m+2-2=0, soit m=0m=0.