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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Positions relatives de deux plans

Dans cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

  1. Les plans (P1):x+2y−z=3(P_1) : x+2y-z=3 et (P2):2x+4y−2z=1(P_2) : 2x+4y-2z=1 sont-ils parallèles ? confondus ?

  2. Les plans (P3):3x−y+2z=0(P_3) : 3x-y+2z=0 et (P4):x+y−2z=5(P_4) : x+y-2z=5 sont-ils parallèles, sécants, perpendiculaires ?

  3. Montrer que les plans (P5):x+y+z=0(P_5) : x+y+z=0 et (P6):x−y=2(P_6) : x-y=2 sont perpendiculaires.

  4. Les plans (P7):x−y+2z=1(P_7) : x-y+2z=1 et (P8):−2x+2y−4z=−2(P_8) : -2x+2y-4z=-2 sont-ils parallèles ? confondus ?

  5. Pour quelle valeur de mm les plans (P):x+my+2z=1(P) : x+my+2z=1 et (P′):2x−4y+4z=5(P') : 2x-4y+4z=5 sont-ils parallèles ? Sont-ils alors confondus ?

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Positions relatives de deux plans

  1. Les vecteurs normaux sont n⃗1(1,2,−1)\vec n_1(1,2,-1) et n⃗2(2,4,−2)=2n⃗1\vec n_2(2,4,-2)=2\vec n_1 : colinéaires, donc les plans sont parallèles ou confondus.

    Le point (3 ; 0 ; 0)(3\,;\,0\,;\,0) est dans (P1)(P_1) (3=33=3) mais pas dans (P2)(P_2) (6≠16\neq1). Les plans sont strictement parallèles.

  2. n⃗3\vec n_3 et n⃗4\vec n_4 ne sont pas colinéaires (par exemple 3/1≠−1/13/1\neq-1/1) : les plans sont sécants selon une droite.

    n⃗3⋅n⃗4=3−1−4=−2≠0\vec n_3\cdot\vec n_4=3-1-4=-2\neq0 : ils ne sont pas perpendiculaires. Ils sont sécants, non perpendiculaires.

  3. n⃗5(1,1,1)\vec n_5(1,1,1) et n⃗6(1,−1,0)\vec n_6(1,-1,0). n⃗5⋅n⃗6=1−1+0=0\vec n_5\cdot\vec n_6=1-1+0=0 : les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires.

  4. En multipliant l'équation de (P7)(P_7) par −2-2 : −2x+2y−4z=−2-2x+2y-4z=-2, c'est exactement l'équation de (P8)(P_8). Les deux équations sont proportionnelles : les plans sont confondus.

  5. n⃗′=2×(1,−2,2)\vec n'=2\times(1,-2,2), donc n⃗\vec n et n⃗′\vec n' sont colinéaires si et seulement si m=−2m=-2.

    Pour m=−2m=-2, l'équation de (P)(P) multipliée par 22 donne 2x−4y+4z=22x-4y+4z=2, qui n'est pas celle de (P′)(P') (le second membre est 55, pas 22) : les plans sont strictement parallèles, pas confondus.