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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Équation cartésienne d'un plan

Dans cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ .
Le point $B(2\,;\,-1\,;\,1)$ appartient-il au plan $(P)$ d'équation $x+2y-z+1=0$ ?
L'origine $O(0\,;\,0\,;\,0)$ appartient-elle à ce plan $(P)$ ?
Donner un vecteur normal et un point du plan $(Q)$ d'équation $3x-y+2z-5=0$ .
Soit $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,2\,;\,-1)$ . Déterminer une équation du plan médiateur de $[AB]$ (plan perpendiculaire à $(AB)$ passant par le milieu de $[AB]$ ).

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Équation cartésienne d'un plan

Une équation de $(P)$ est $x+2y-z+d=0$ . Comme $A\in(P)$ : $1+0-2+d=0$ , donc $d=1$ .

Ainsi $(P)$ : $x+2y-z+1=0$ .
$2+2\times(-1)-1+1=2-2-1+1=0$ : les coordonnées de $B$ vérifient l'équation, donc $B\in(P)$ .
Pour $O$ : $0+0-0+1=1\neq0$ . Donc $O\notin(P)$ .
Un vecteur normal est $\vec n\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ (coefficients de $x$ , $y$ , $z$ ).

Pour un point, on prend par exemple $x=1$ , $y=-2$ : $3+2+2z-5=0$ donne $z=0$ ; le point $(1\,;\,-2\,;\,0)$ convient (parmi d'autres).
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\-4\end{pmatrix}$ est normal au plan, et le milieu de $[AB]$ est $I(2\,;\,2\,;\,1)$ . Une équation est $2x-4z+d=0$ avec $4-4+d=0$ , donc $d=0$ : $2x-4z=0$ , c'est-à-dire $x-2z=0$ .

Vérification : pour $A$ , $1-6=-5$ ; pour $B$ , $3+2=5$ : les deux points sont de part et d'autre, à égale distance.