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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Produit scalaire et orthogonalité

Dans cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

Calculer le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$ avec $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$ .
Calculer les normes $\|\vec u\|$ et $\|\vec v\|$ (mêmes vecteurs).
En déduire une valeur approchée, au dixième de degré près, de l'angle $\theta$ entre $\vec u$ et $\vec v$ .
On donne $A(1\,;\,0\,;\,1)$ , $B(2\,;\,2\,;\,0)$ et $C(3\,;\,-1\,;\,1)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .
Déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}m\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\vec w\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Produit scalaire et orthogonalité

$\vec u\cdot\vec v=2\times1+(-1)\times4+3\times2=2-4+6=4$ .
$\|\vec u\|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$ et $\|\vec v\|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$ .
$\cos\theta=\dfrac{4}{\sqrt{14}\times\sqrt{21}}=\dfrac{4}{\sqrt{294}}\approx 0{,}233$ . D'où $\theta\approx76{,}5^\circ$ .
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ . $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-2+0=0$ : les vecteurs sont orthogonaux, donc $ABC$ est rectangle en $A$ .
$\vec u\cdot\vec w=m-3+2=m-1$ . Ils sont orthogonaux si et seulement si $m-1=0$ , soit $m=1$ .