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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Colinéarité, alignement, coplanarité

Dans cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

  1. Les points A(1 ; 0 ; 2)A(1\,;\,0\,;\,2), B(3 ; 2 ; 6)B(3\,;\,2\,;\,6) et C(−1 ; −2 ; −2)C(-1\,;\,-2\,;\,-2) sont-ils alignés ?

  2. Les vecteurs u⃗(1−23)\vec u\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} et v⃗(−24−6)\vec v\begin{pmatrix}-2\\4\\-6\end{pmatrix} sont-ils colinéaires ?

  3. Les vecteurs u⃗(120)\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} et w⃗(241)\vec w\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix} sont-ils colinéaires ?

  4. Les vecteurs a⃗(101)\vec a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, b⃗(011)\vec b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} et c⃗(112)\vec c\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} sont-ils coplanaires ?

  5. Les vecteurs a⃗(101)\vec a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, b⃗(011)\vec b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} et d⃗(111)\vec d\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} sont-ils coplanaires ?

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Colinéarité, alignement, coplanarité

  1. AB→(224)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix} et AC→(−2−2−4)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\-2\\-4\end{pmatrix}. On a AC→=−AB→\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB} : les vecteurs sont colinéaires, donc AA, BB, CC sont alignés (et AA est le milieu de [BC][BC]).

  2. −2×1=−2-2\times1=-2, −2×(−2)=4-2\times(-2)=4, −2×3=−6-2\times3=-6 : v⃗=−2 u⃗\vec v=-2\,\vec u. Les vecteurs sont colinéaires.

  3. Pour w⃗=k u⃗\vec w=k\,\vec u, la première coordonnée impose k=2k=2, mais la troisième donne 1=k×0=01=k\times0=0 : impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

  4. a⃗\vec a et b⃗\vec b ne sont pas colinéaires. On remarque que a⃗+b⃗=(112)=c⃗\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\vec c. Donc c⃗\vec c est combinaison linéaire de a⃗\vec a et b⃗\vec b : les trois vecteurs sont coplanaires.

  5. a⃗\vec a et b⃗\vec b ne sont pas colinéaires. Cherchons xx, yy avec d⃗=xa⃗+yb⃗\vec d=x\vec a+y\vec b : la première coordonnée donne x=1x=1, la deuxième y=1y=1, et la troisième exige x+y=1x+y=1, or 1+1=2≠11+1=2\neq1. Le système n'a pas de solution : les vecteurs ne sont pas coplanaires.