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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Coordonnées de points et de vecteurs

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(1 ; 2 ; −1)A(1\,;\,2\,;\,-1), B(3 ; −1 ; 2)B(3\,;\,-1\,;\,2) et C(0 ; 1 ; 4)C(0\,;\,1\,;\,4).

  1. On considère les points A(1 ; 2 ; −1)A(1\,;\,2\,;\,-1), B(3 ; −1 ; 2)B(3\,;\,-1\,;\,2) et C(0 ; 1 ; 4)C(0\,;\,1\,;\,4). Calculer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}.

  2. On considère les points A(1 ; 2 ; −1)A(1\,;\,2\,;\,-1), B(3 ; −1 ; 2)B(3\,;\,-1\,;\,2) et C(0 ; 1 ; 4)C(0\,;\,1\,;\,4). Calculer les coordonnées du milieu II de [AC][AC].

  3. On considère les points A(1 ; 2 ; −1)A(1\,;\,2\,;\,-1), B(3 ; −1 ; 2)B(3\,;\,-1\,;\,2) et C(0 ; 1 ; 4)C(0\,;\,1\,;\,4). Calculer la longueur ABAB.

  4. On considère les points A(1 ; 2 ; −1)A(1\,;\,2\,;\,-1), B(3 ; −1 ; 2)B(3\,;\,-1\,;\,2) et C(0 ; 1 ; 4)C(0\,;\,1\,;\,4). Déterminer les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

  5. On considère les points A(1 ; 2 ; −1)A(1\,;\,2\,;\,-1), B(3 ; −1 ; 2)B(3\,;\,-1\,;\,2) et C(0 ; 1 ; 4)C(0\,;\,1\,;\,4). Calculer les coordonnées du centre de gravité GG du triangle ABCABC.

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Coordonnées de points et de vecteurs

  1. AB→(3−1−1−22−(−1))\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-1\\-1-2\\2-(-1)\end{pmatrix}, soit AB→(2−33)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}.

  2. I(1+02 ; 2+12 ; −1+42)I\left(\dfrac{1+0}{2}\,;\,\dfrac{2+1}{2}\,;\,\dfrac{-1+4}{2}\right), soit I(12 ; 32 ; 32)I(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{3}{2}).

  3. AB=22+(−3)2+32=4+9+9=22AB=\sqrt{2^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}.

  4. ABCDABCD parallélogramme   ⟺  AB→=DC→\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. En notant D(x ; y ; z)D(x\,;\,y\,;\,z) : DC→(0−x1−y4−z)=(2−33)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}0-x\\1-y\\4-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}, d'où x=−2x=-2, y=4y=4, z=1z=1.

    Ainsi D(−2 ; 4 ; 1)D(-2\,;\,4\,;\,1).

  5. G(1+3+03 ; 2−1+13 ; −1+2+43)G\left(\dfrac{1+3+0}{3}\,;\,\dfrac{2-1+1}{3}\,;\,\dfrac{-1+2+4}{3}\right), soit G(43 ; 23 ; 53)G(\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}).