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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Orthogonalité : définitions et premières applications

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB→, AD→, AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right). Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 1 ; 0)C(1\,;\,1\,;\,0), D(0 ; 1 ; 0)D(0\,;\,1\,;\,0), E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1), F(1 ; 0 ; 1)F(1\,;\,0\,;\,1), G(1 ; 1 ; 1)G(1\,;\,1\,;\,1) et H(0 ; 1 ; 1)H(0\,;\,1\,;\,1).

  1. Que signifie « deux droites de l'espace sont orthogonales » ? Quelle différence y a-t-il avec « perpendiculaires » ?

  2. Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, les droites (AB)(AB) et (DH)(DH) sont-elles perpendiculaires, ou seulement orthogonales ? Justifier.

  3. Rappeler la définition d'une droite orthogonale à un plan et un critère pratique pour le démontrer. Application : montrer que (AE)(AE) est orthogonale au plan (ABC)(ABC).

  4. Que signifie « deux plans sont perpendiculaires » ? Montrer que les plans (ABC)(ABC) et (ABF)(ABF) sont perpendiculaires.

  5. Montrer que la droite (EC)(EC) est orthogonale au plan (BDG)(BDG).

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Orthogonalité : définitions et premières applications

  1. Deux droites (d)(d) et (d′)(d') sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux, c'est-à-dire u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0. De manière équivalente, la parallèle à (d′)(d') passant par un point de (d)(d) est perpendiculaire à (d)(d).

    Deux droites perpendiculaires sont des droites orthogonales qui sont de plus sécantes (donc coplanaires). Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes dans l'espace.

  2. AB→(100)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} et DH→(001)\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} : AB→⋅DH→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DH}=0, les droites sont orthogonales.

    Elles n'ont pas de point commun : un point de (AB)(AB) est (t ; 0 ; 0)(t\,;\,0\,;\,0), un point de (DH)(DH) est (0 ; 1 ; s)(0\,;\,1\,;\,s), les deuxièmes coordonnées diffèrent. Elles ne sont pas sécantes : elles sont orthogonales mais pas perpendiculaires.

  3. Une droite (d)(d) est orthogonale à un plan (P)(P) si elle est orthogonale à toutes les droites de (P)(P). Critère : il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de (P)(P) (ou que son vecteur directeur soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan).

    Application : AE→(001)\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, AB→(100)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, AD→(010)\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}. On a AE→⋅AB→=0\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}=0 et AE→⋅AD→=0\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}=0, et (AB)(AB), (AD)(AD) sont sécantes en AA dans le plan (ABC)(ABC). Donc (AE)(AE) est orthogonale au plan (ABC)(ABC).

  4. Deux plans sont perpendiculaires si l'un contient une droite orthogonale à l'autre ; de manière équivalente, si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

    AE→(001)\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} est normal à (ABC)(ABC) (question précédente). AD→(010)\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} est normal à (ABF)(ABF) car AD→⋅AB→=0\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=0 et AD→⋅AE→=0\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=0. Or AE→⋅AD→=0\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}=0 : les plans (ABC)(ABC) et (ABF)(ABF) sont perpendiculaires.

  5. EC→(11−1)\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, BD→(−110)\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} et BG→(011)\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

    EC→⋅BD→=−1+1+0=0\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0 et EC→⋅BG→=0+1−1=0\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{BG}=0+1-1=0.

    Les vecteurs BD→\overrightarrow{BD} et BG→\overrightarrow{BG} ne sont pas colinéaires, donc (BD)(BD) et (BG)(BG) sont deux droites sécantes en BB du plan (BDG)(BDG). (EC)(EC) est orthogonale à ces deux droites, donc au plan (BDG)(BDG).