Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Droites et plans : positions relatives

1. Une droite $(d)$ et un plan $(P)$ sont dans l'un des trois cas suivants :

   • $(d)$ et $(P)$ sont sécants : ils ont un unique point commun ;
   • $(d)$ est strictement parallèle à $(P)$ : aucun point commun ;
   • $(d)$ est contenue dans $(P)$ : tous les points de $(d)$ sont dans $(P)$.

   On a $(d)$ parallèle à $(P)$ (au sens large) si $(d)$ est dirigée par un vecteur du plan $(P)$.

2. Deux plans $(P)$ et $(P')$ sont dans l'un des trois cas suivants :

   • confondus : ils ont les mêmes points ;
   • strictement parallèles : aucun point commun ;
   • sécants : leur intersection est une droite.

   Deux plans qui ont un point commun sont donc soit confondus, soit sécants selon une droite.

3. Le plan $(EFG)$ est le plan de cote $z=1$ ($E$, $F$, $G$ ont tous $z=1$). La droite $(AB)$ est dirigée par $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, qui appartient à la direction du plan (c'est aussi $\overrightarrow{EF}$), mais $A(0\,;\,0\,;\,0)$ a une cote $0\neq1$ : $A\notin(EFG)$.

   La droite $(AB)$ est donc strictement parallèle au plan $(EFG)$.

4. Le plan $(ABC)$ est le plan de cote $z=0$. Un point de $(AG)$ s'écrit $(t\,;\,t\,;\,t)$ car $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $A$ est l'origine. Il est dans $(ABC)$ si $t=0$.

   La droite $(AG)$ coupe donc le plan $(ABC)$ en un seul point : $A$. Elle est sécante au plan en $A$.

5. Le plan $(ABG)$ contient aussi $H$ : en effet $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\overrightarrow{BG}$, donc $ABGH$ est un parallélogramme (c'est un rectangle), et $(ABG)=(ABGH)$. Le plan $(EFG)$ contient aussi $H$ (face supérieure).

   Les deux plans ne sont pas confondus (par exemple $A\in(ABG)$ mais $A\notin(EFG)$) et ils ont deux points communs distincts $G$ et $H$ : ils sont sécants selon la droite $(GH)$.