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Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Positions relatives de deux droites

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, et on se place dans le repère orthonormé (A ; AB→, AD→, AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right). Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0)A(0\,;\,0\,;\,0), B(1 ; 0 ; 0)B(1\,;\,0\,;\,0), C(1 ; 1 ; 0)C(1\,;\,1\,;\,0), D(0 ; 1 ; 0)D(0\,;\,1\,;\,0), E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1), F(1 ; 0 ; 1)F(1\,;\,0\,;\,1), G(1 ; 1 ; 1)G(1\,;\,1\,;\,1) et H(0 ; 1 ; 1)H(0\,;\,1\,;\,1).

  1. Rappeler la définition de deux droites coplanaires. Quelles sont les positions relatives possibles de deux droites de l'espace ?

  2. Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, quelle est la position relative des droites (AB)(AB) et (EF)(EF) ? Justifier.

  3. Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, quelle est la position relative des droites (AB)(AB) et (BC)(BC) ?

  4. Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, les droites (AB)(AB) et (CG)(CG) sont-elles coplanaires ? Justifier.

  5. Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, les droites (AC)(AC) et (FH)(FH) sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Justifier.

Niveau 1 — Géométrie dans l’espace — 15 min

Corrigé — Positions relatives de deux droites

  1. Deux droites sont coplanaires s'il existe un plan qui les contient toutes les deux. Elles sont alors :

    • parallèles (strictement) : même direction et aucun point commun ;
    • confondues : même direction et tous leurs points communs ;
    • sécantes : elles ont un seul point commun.

    Deux droites qui ne sont contenues dans aucun plan commun sont dites non coplanaires : elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles. Au total, quatre cas sont possibles : confondues, parallèles, sécantes, non coplanaires.

  2. Dans le repère, AB→(100)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} et EF→(100)\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} : EF→=AB→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}, les droites ont la même direction. Le point E(0 ; 0 ; 1)E(0\,;\,0\,;\,1) n'est pas sur (AB)(AB) (dont tous les points ont z=0z=0). Les droites (AB)(AB) et (EF)(EF) sont donc strictement parallèles (c'est aussi un côté du rectangle ABFEABFE).

  3. Les droites (AB)(AB) et (BC)(BC) passent toutes les deux par le point BB et ne sont pas confondues (les vecteurs AB→(100)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} et BC→(010)\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires). Elles sont donc sécantes en BB (et même perpendiculaires).

  4. AB→(100)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} et CG→(001)\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.

    Un point de (AB)(AB) a pour coordonnées (t ; 0 ; 0)(t\,;\,0\,;\,0) et un point de (CG)(CG) a pour coordonnées (1 ; 1 ; s)(1\,;\,1\,;\,s) : la deuxième coordonnée (00 contre 11) empêche tout point commun. Elles ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires.

  5. AC→(110)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} et FH→(−110)\overrightarrow{FH}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : pas parallèles.

    Tous les points de (AC)(AC) ont une cote z=0z=0 alors que tous les points de (FH)(FH) ont z=1z=1 : aucun point commun. Les droites ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires (elles sont d'ailleurs orthogonales, car AC→⋅FH→=−1+1+0=0\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{FH}=-1+1+0=0).