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Niveau 2 — Équations différentielles — 40 min

Asymptote oblique et minimum

On considère $(E)$ : $y'=-y+x$ sur $\mathbb{R}$ .

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g : x\mapsto ax+b$ soit solution de $(E)$ .
En déduire les solutions de $(E)$ puis la solution $f$ telle que $f(0)=2$ .
Montrer que la droite $\Delta : y=x-1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et étudier leur position relative.
Dresser le tableau de variations de $f$ ; en particulier calculer le minimum de $f$ (valeur exacte).
Étudier la convexité de $f$ et montrer que l'équation $f(x)=2$ a exactement deux solutions, dont $0$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 40 min

Corrigé — Asymptote oblique et minimum

$g'(x)=a$ et $-g(x)+x=(1-a)x-b$ . Pour tout $x$ : $1-a=0$ et $a=-b$ , soit $a=1$ , $b=-1$ : $g(x)=x-1$ .
Solutions : $Ce^{-x}+x-1$ . $f(0)=C-1=2$ donc $C=3$ : $f(x)=3e^{-x}+x-1$ .
$f(x)-(x-1)=3e^{-x}\to0$ en $+\infty$ : $\Delta$ est asymptote. Comme $3e^{-x}>0$ , $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de $\Delta$ .
$f'(x)=1-3e^{-x}\geq0\iff e^{-x}\leq\dfrac13\iff x\geq\ln3$ . $f$ décroît sur $]-\infty\,;\,\ln3]$ , croît ensuite. Minimum : $f(\ln3)=3\times\dfrac13+\ln3-1=\ln3\approx1{,}10$ .
$f''(x)=3e^{-x}>0$ : $f$ est convexe. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,\ln3]$ puis strictement croissante ; $f(\ln3)=\ln3\approx1{,}10<2$ et $f$ tend vers $+\infty$ en $\pm\infty$ : par le théorème de la bijection appliqué sur chaque intervalle, exactement deux solutions, l'une est $0$ ( $f(0)=2$ ) et l'autre est supérieure à $\ln 3$ .