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Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Étude d'une solution qui s'éloigne de l'équilibre

Soit $(E)$ : $y'=2y-6$ et $f$ la solution vérifiant $f(0)=1$ .

Déterminer la solution constante de $(E)$ puis $f(x)$ .
Limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ . Asymptote ?
Étudier les variations et la convexité de $f$ .
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et la déterminer exactement.
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$ en précisant le signe de $f(x)$ selon $x$ et la position par rapport à la tangente en $\alpha$ .

Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Corrigé — Étude d'une solution qui s'éloigne de l'équilibre

Solution constante : $3$ (car $2\times3-6=0$ ). Solutions : $Ce^{2x}+3$ . $f(0)=C+3=1$ donne $C=-2$ : $f(x)=3-2e^{2x}$ .
$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=3$ (asymptote horizontale $y=3$ en $-\infty$ ). $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ .
$f'(x)=-4e^{2x}<0$ : $f$ strictement décroissante. $f''(x)=-8e^{2x}<0$ : $f$ concave sur $\mathbb{R}$ .
$f$ est continue, strictement décroissante de $3$ à $-\infty$ : par le théorème de la bijection, $f(x)=0$ a une unique solution. $3-2e^{2x}=0\iff e^{2x}=\dfrac32\iff\alpha=\dfrac12\ln\dfrac32\approx0{,}203$ .
$f(x)>0$ pour $x<\alpha$ et $f(x)<0$ pour $x>\alpha$ . $f$ concave : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de toutes ses tangentes, en particulier de celle en $\alpha$ .