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Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Étude d'une solution décroissante

On considère l'équation $(E)$ : $y'+2y=4$ et sa solution $f$ vérifiant $f(0)=5$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Résoudre $(E)$ et déterminer $f(x)$ .
Étudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ . Que peut-on dire de $\mathcal{C}_f$ ?
Dresser le tableau de variations de $f$ et étudier sa convexité.
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ et étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à cette tangente.
Résoudre $f(x)=3$ , puis $f(x)\leq 2{,}01$ (arrondir à $10^{-2}$ près).

Niveau 2 — Équations différentielles — 30 min

Corrigé — Étude d'une solution décroissante

$(E)\iff y'=-2y+4$ , solutions $Ce^{-2x}+2$ . $f(0)=C+2=5$ donc $f(x)=3e^{-2x}+2$ .
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ . $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ .
$f'(x)=-6e^{-2x}<0$ : $f$ strictement décroissante de $+\infty$ à $2$ (non atteint). $f''(x)=12e^{-2x}>0$ : $f$ convexe sur $\mathbb{R}$ .

$x$ $-\infty$ $+\infty$
$f$ $+\infty$ $\searrow$ $2$
$f(0)=5$ , $f'(0)=-6$ : $T : y=-6x+5$ . $f$ est convexe donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ .
$f(x)=3\iff e^{-2x}=\dfrac13\iff x=\dfrac{\ln3}{2}\approx0{,}55$ . $f(x)\leq2{,}01\iff3e^{-2x}\leq0{,}01\iff x\geq\dfrac{\ln300}{2}\approx2{,}85$ .