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Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Caractérisation de l'exponentielle

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ . On souhaite montrer, sans utiliser a priori la fonction exponentielle, que $f$ est unique et en tirer ses propriétés.

On pose $h(x)=f(x)\,f(-x)$ . Calculer $h'(x)$ et en déduire que $f(x)f(-x)=1$ pour tout réel $x$ .
En déduire que $f$ ne s'annule jamais, puis que $f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ .
Soit $g$ une autre fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $g'=g$ et $g(0)=1$ . En étudiant $\dfrac gf$ , montrer que $g=f$ .
Soit $a$ un réel fixé. Montrer que $x\mapsto f(x+a)/f(a)$ est solution de $y'=y$ avec la condition $y(0)=1$ . En déduire $f(x+a)=f(x)f(a)$ .
Retrouver ainsi que $f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$ et $f(2x)=f(x)^2$ , puis la résolution de $y'=ay$ avec $a\neq0$ : montrer que $x\mapsto f(ax)$ est solution.

Niveau 2 — Équations différentielles — 35 min

Corrigé — Caractérisation de l'exponentielle

$h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)\times\left(-f'(-x)\right)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$ car $f'=f$ . Donc $h$ est constante sur $\mathbb{R}$ , égale à $h(0)=f(0)^2=1$ : $f(x)f(-x)=1$ .
Si $f(x_0)=0$ , alors $f(x_0)f(-x_0)=0\neq1$ : impossible. Donc $f$ ne s'annule pas. $f$ est continue, $f(0)=1>0$ : si $f$ prenait une valeur négative, le TVI fournirait un zéro, ce qui est exclu. Donc $f>0$ sur $\mathbb{R}$ .
$\left(\dfrac gf\right)'=\dfrac{g'f-gf'}{f^2}=\dfrac{gf-gf}{f^2}=0$ . Donc $\dfrac gf$ est constante, égale à $\dfrac{g(0)}{f(0)}=1$ : $g=f$ . La fonction $f$ est unique : c'est la fonction exponentielle.
Posons $k(x)=\dfrac{f(x+a)}{f(a)}$ ( $f(a)\neq0$ ). $k'(x)=\dfrac{f'(x+a)}{f(a)}=k(x)$ et $k(0)=1$ . Par unicité $k=f$ , donc $f(x+a)=f(x)f(a)$ .
Avec $a=-x$ dans la relation précédente : $f(0)=f(x)f(-x)$ , soit $f(-x)=\dfrac1{f(x)}$ . Avec $a=x$ : $f(2x)=f(x)^2$ . Enfin $\left(f(ax)\right)'=af'(ax)=a\,f(ax)$ : $x\mapsto f(ax)=e^{ax}$ est solution de $y'=ay$ .