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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Condition initiale en ln 2

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=2y+4$ qui vérifie $f(\ln 2)=10$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=y-3$ qui vérifie $f(\ln 2)=7$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=-y+2$ qui vérifie $f(\ln 2)=4$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=3y$ qui vérifie $f(\ln 2)=4$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Condition initiale en ln 2

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}-2$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(\ln2)=10$ donne $C\,e^{2\ln2}-2=10$ , soit $C\times2^{2}-2=10$ , d'où $C=3$ . Donc $f(x)=3e^{2x}-2$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{x}+3$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(\ln2)=7$ donne $C\,e^{\ln2}+3=7$ , soit $C\times2^{1}+3=7$ , d'où $C=2$ . Donc $f(x)=2e^{x}+3$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-x}+2$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(\ln2)=4$ donne $C\,e^{-1\ln2}+2=4$ , soit $C\times2^{-1}+2=4$ , d'où $C=4$ . Donc $f(x)=4e^{-x}+2$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{3x}$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(\ln2)=4$ donne $C\,e^{3\ln2}=4$ , soit $C\times2^{3}=4$ , d'où $C=\dfrac{1}{2}$ . Donc $f(x)=\dfrac{1}{2}e^{3x}$ .