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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Tangente et variations d'une solution

On considère l'équation (E)(E) : y′=−2y+4y'=-2y+4 et sa solution ff vérifiant f(0)=5f(0)=5.

  1. Calculer f′(0)f'(0) sans résoudre (E)(E).

  2. En déduire l'équation de la tangente à la courbe de ff au point d'abscisse 00.

  3. Résoudre (E)(E) avec la condition f(0)=5f(0)=5.

  4. Étudier le sens de variation de ff et sa limite en +∞+\infty.

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Tangente et variations d'une solution

  1. f′(0)=−2f(0)+4=−2×5+4=−6f'(0)=-2f(0)+4=-2\times5+4=-6.

  2. y=−6x+5y=-6x+5.

  3. Solutions : Ce−2x+2Ce^{-2x}+2. f(0)=C+2=5f(0)=C+2=5 donc C=3C=3 : f(x)=3e−2x+2f(x)=3e^{-2x}+2.

  4. f′(x)=−6e−2x<0f'(x)=-6e^{-2x}<0 : ff est strictement décroissante sur R\mathbb{R}. Comme e−2x→0e^{-2x}\to0, lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2.