Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Second membre exponentiel (solution particulière donnée)

On cherche les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ ; la solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de $y'=ay$ et d'une solution particulière de $(E)$ .

Vérifier que $g : x\mapsto e^{5x}$ est solution de $(E)$ : $y'=2y+3e^{5x}$ .
Résoudre l'équation homogène $y'=2y$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0)=4$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Second membre exponentiel (solution particulière donnée)

$g'(x)=5\times\left(e^{5x}\right)=5e^{5x}$ et $2\,g(x)+3e^{5x}=2e^{5x}+3e^{5x}=5e^{5x}$ (car $2\times1+3=5$ ). Donc $g'=2\,g+3e^{5x}$ : $g$ est solution.
Les solutions sont $x\mapsto Ce^{2x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$x\mapsto Ce^{2x}+e^{5x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$f(0)=C+1=4$ donc $C=3$ et $f(x)=3e^{2x}+e^{5x}$ .