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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Second membre polynomial (solution particulière donnée)

On cherche les solutions de l'équation $(E)$ sur $\mathbb{R}$ . On rappelle que la solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de l'équation homogène $y'=ay$ et d'une solution particulière de $(E)$ .

Vérifier que la fonction $g : x\mapsto x-1$ est une solution particulière de $(E)$ : $y'=-y+x$ .
Résoudre l'équation homogène $(E_0)$ : $y'=-y$ .
En déduire toutes les solutions de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=0$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Second membre polynomial (solution particulière donnée)

$g'(x)=1$ . D'autre part $-1\,g(x)+(x)=-1\left(x-1\right)+x=1$ . Les deux expressions sont égales pour tout $x$ : $g$ est solution de $(E)$ .
Les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-x}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-x}+g(x)$ , soit $x\mapsto Ce^{-x}+x-1$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$f(0)=C+g(0)=C-1$ , donc $C-1=0$ et $C=1$ . Ainsi $f(x)=e^{-x}+x-1$ .