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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Solution constante et comportement en +∞ (a < 0)

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

On considère $(E)$ : $y'=-2y+6$ . Déterminer sa solution constante, puis la solution $f$ telle que $f(0)=1$ , et enfin $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
On considère $(E)$ : $y'=-y+4$ . Déterminer sa solution constante, puis la solution $f$ telle que $f(0)=10$ , et enfin $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
On considère $(E)$ : $y'=-3y-6$ . Déterminer sa solution constante, puis la solution $f$ telle que $f(0)=0$ , et enfin $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
On considère $(E)$ : $y'=-\dfrac{1}{2}y+1$ . Déterminer sa solution constante, puis la solution $f$ telle que $f(0)=-2$ , et enfin $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Solution constante et comportement en +∞ (a < 0)

Une solution constante $y=k$ vérifie $0=ak+b$ , soit $k=-\dfrac ba=3$ . Les solutions sont $Ce^{-2x}+3$ ; $f(0)=1$ donne $C=1-3=-2$ : $f(x)=-2e^{-2x}+3$ . Comme $a=-2<0$ , $e^{-2x}\to0$ quand $x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3$ : la solution se rapproche de la solution constante (équilibre stable).
Une solution constante $y=k$ vérifie $0=ak+b$ , soit $k=-\dfrac ba=4$ . Les solutions sont $Ce^{-x}+4$ ; $f(0)=10$ donne $C=10-4=6$ : $f(x)=6e^{-x}+4$ . Comme $a=-1<0$ , $e^{-x}\to0$ quand $x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=4$ : la solution se rapproche de la solution constante (équilibre stable).
Une solution constante $y=k$ vérifie $0=ak+b$ , soit $k=-\dfrac ba=-2$ . Les solutions sont $Ce^{-3x}-2$ ; $f(0)=0$ donne $C=0+2=2$ : $f(x)=2e^{-3x}-2$ . Comme $a=-3<0$ , $e^{-3x}\to0$ quand $x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-2$ : la solution se rapproche de la solution constante (équilibre stable).
Une solution constante $y=k$ vérifie $0=ak+b$ , soit $k=-\dfrac ba=2$ . Les solutions sont $Ce^{-\frac{1}{2}x}+2$ ; $f(0)=-2$ donne $C=-2-2=-4$ : $f(x)=-4e^{-\frac{1}{2}x}+2$ . Comme $a=-\dfrac{1}{2}<0$ , $e^{-\frac{1}{2}x}\to0$ quand $x\to+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ : la solution se rapproche de la solution constante (équilibre stable).