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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Se ramener à la forme y' = ay + b

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'+2y=6$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $3y'=y+2$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $2y'-4y=8$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'+\dfrac{y}{3}=1$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Se ramener à la forme y' = ay + b

$(E)$ s'écrit $y'=-2y+6$ , de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-2$ et $b=6$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-2x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=3$ , $x\mapsto Ce^{-2x}+3$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ s'écrit $y'=\dfrac{1}{3}y+\dfrac{2}{3}$ , de la forme $y'=ay+b$ avec $a=\dfrac{1}{3}$ et $b=\dfrac{2}{3}$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{\frac{1}{3}x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=-2$ , $x\mapsto Ce^{\frac{1}{3}x}-2$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ s'écrit $y'=2y+4$ , de la forme $y'=ay+b$ avec $a=2$ et $b=4$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=-2$ , $x\mapsto Ce^{2x}-2$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ s'écrit $y'=-\dfrac{1}{3}y+1$ , de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-\dfrac{1}{3}$ et $b=1$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-\frac{1}{3}x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=3$ , $x\mapsto Ce^{-\frac{1}{3}x}+3$ , $C\in\mathbb{R}$ .