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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

y' = ay + b avec condition initiale, coefficients fractionnaires

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=\dfrac{1}{2}y+3$ qui vérifie $f(0)=2$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=-3y+1$ qui vérifie $f(0)=0$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=4y-2$ qui vérifie $f(0)=1$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ : $y'=-\dfrac{1}{2}y+1$ qui vérifie $f(0)=3$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — y' = ay + b avec condition initiale, coefficients fractionnaires

Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{\frac{1}{2}x}-6$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=2$ donne $C-6=2$ , d'où $C=2+6=8$ . Donc $f(x)=8e^{\frac{1}{2}x}-6$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-3x}+\dfrac{1}{3}$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=0$ donne $C+\dfrac{1}{3}=0$ , d'où $C=0-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$ . Donc $f(x)=-\dfrac{1}{3}e^{-3x}+\dfrac{1}{3}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{4x}+\dfrac{1}{2}$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=1$ donne $C+\dfrac{1}{2}=1$ , d'où $C=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ . Donc $f(x)=\dfrac{1}{2}e^{4x}+\dfrac{1}{2}$ .
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-\frac{1}{2}x}+2$ , $C\in\mathbb{R}$ . La condition $f(0)=3$ donne $C+2=3$ , d'où $C=3-2=1$ . Donc $f(x)=e^{-\frac{1}{2}x}+2$ .