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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

y' = ay + b avec condition initiale f(0)

On résout des équations différentielles sur R\mathbb{R}. Rappel : les solutions de y′=ayy'=ay sont les fonctions x↦Ceaxx\mapsto Ce^{ax} (C∈RC\in\mathbb{R}) ; celles de y′=ay+by'=ay+b (a≠0a\neq0) sont les fonctions x↦Ceax−bax\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba.

  1. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=2y+4y'=2y+4 qui vérifie f(0)=1f(0)=1.

  2. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=−y+3y'=-y+3 qui vérifie f(0)=5f(0)=5.

  3. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=3y−6y'=3y-6 qui vérifie f(0)=0f(0)=0.

  4. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=−2y−8y'=-2y-8 qui vérifie f(0)=−1f(0)=-1.

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — y' = ay + b avec condition initiale f(0)

  1. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce2x−2x\mapsto Ce^{2x}-2, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=1f(0)=1 donne C−2=1C-2=1, d'où C=1+2=3C=1+2=3. Donc f(x)=3e2x−2f(x)=3e^{2x}-2.

  2. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce−x+3x\mapsto Ce^{-x}+3, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=5f(0)=5 donne C+3=5C+3=5, d'où C=5−3=2C=5-3=2. Donc f(x)=2e−x+3f(x)=2e^{-x}+3.

  3. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce3x+2x\mapsto Ce^{3x}+2, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=0f(0)=0 donne C+2=0C+2=0, d'où C=0−2=−2C=0-2=-2. Donc f(x)=−2e3x+2f(x)=-2e^{3x}+2.

  4. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce−2x−4x\mapsto Ce^{-2x}-4, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=−1f(0)=-1 donne C−4=−1C-4=-1, d'où C=−1+4=3C=-1+4=3. Donc f(x)=3e−2x−4f(x)=3e^{-2x}-4.