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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Résoudre y' = ay + b (coefficients fractionnaires)

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=3y+1$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=-2y+3$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=\dfrac{1}{2}y+2$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=-4y-1$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Résoudre y' = ay + b (coefficients fractionnaires)

$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=3$ et $b=1$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{3x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=-\dfrac{1}{3}$ , $x\mapsto Ce^{3x}-\dfrac{1}{3}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-2$ et $b=3$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-2x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=\dfrac{3}{2}$ , $x\mapsto Ce^{-2x}+\dfrac{3}{2}$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=2$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{\frac{1}{2}x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=-4$ , $x\mapsto Ce^{\frac{1}{2}x}-4$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-4$ et $b=-1$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-4x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=-\dfrac{1}{4}$ , $x\mapsto Ce^{-4x}-\dfrac{1}{4}$ , $C\in\mathbb{R}$ .