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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Résoudre y' = ay + b (coefficients entiers)

On résout des équations différentielles sur $\mathbb{R}$ . Rappel : les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ ( $C\in\mathbb{R}$ ) ; celles de $y'=ay+b$ ( $a\neq0$ ) sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba$ .

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=2y+6$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=-3y+9$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=y-4$ .
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$ : $y'=-y+5$ .

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Résoudre y' = ay + b (coefficients entiers)

$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=2$ et $b=6$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{2x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=-3$ , $x\mapsto Ce^{2x}-3$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=9$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-3x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=3$ , $x\mapsto Ce^{-3x}+3$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=1$ et $b=-4$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=4$ , $x\mapsto Ce^{x}+4$ , $C\in\mathbb{R}$ .
$(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-1$ et $b=5$ . Les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{-x}-\dfrac{b}{a}$ , c'est-à-dire, avec $-\dfrac ba=5$ , $x\mapsto Ce^{-x}+5$ , $C\in\mathbb{R}$ .