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Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Condition initiale en 0 (équation y' = ay)

On résout des équations différentielles sur R\mathbb{R}. Rappel : les solutions de y′=ayy'=ay sont les fonctions x↦Ceaxx\mapsto Ce^{ax} (C∈RC\in\mathbb{R}) ; celles de y′=ay+by'=ay+b (a≠0a\neq0) sont les fonctions x↦Ceax−bax\mapsto Ce^{ax}-\dfrac ba.

  1. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=2yy'=2y qui vérifie f(0)=3f(0)=3.

  2. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=−yy'=-y qui vérifie f(0)=5f(0)=5.

  3. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=12yy'=\dfrac{1}{2}y qui vérifie f(0)=−4f(0)=-4.

  4. Déterminer la solution ff de (E)(E) : y′=−3yy'=-3y qui vérifie f(0)=12f(0)=\dfrac{1}{2}.

Niveau 1 — Équations différentielles — 15 min

Corrigé — Condition initiale en 0 (équation y' = ay)

  1. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce2xx\mapsto Ce^{2x}, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=3f(0)=3 donne C=3C=3 (car e0=1e^0=1). Donc f(x)=3e2xf(x)=3e^{2x}.

  2. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce−xx\mapsto Ce^{-x}, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=5f(0)=5 donne C=5C=5 (car e0=1e^0=1). Donc f(x)=5e−xf(x)=5e^{-x}.

  3. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce12xx\mapsto Ce^{\frac{1}{2}x}, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=−4f(0)=-4 donne C=−4C=-4 (car e0=1e^0=1). Donc f(x)=−4e12xf(x)=-4e^{\frac{1}{2}x}.

  4. Les solutions de (E)(E) sont les fonctions x↦Ce−3xx\mapsto Ce^{-3x}, C∈RC\in\mathbb{R}. La condition f(0)=12f(0)=\dfrac{1}{2} donne C=12C=\dfrac{1}{2} (car e0=1e^0=1). Donc f(x)=12e−3xf(x)=\dfrac{1}{2}e^{-3x}.