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Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Un comité avec incompatibilité

Parmi 1010 personnes, Anne et Basile refusent de siéger ensemble dans un comité. On forme un comité de 44 personnes.

  1. Combien de comités de 44 personnes peut-on former sans tenir compte de la contrainte ?

  2. Combien contiennent à la fois Anne et Basile ?

  3. En déduire le nombre de comités respectant la contrainte.

  4. Retrouver ce résultat en distinguant trois cas : Anne seule, Basile seul, ni l'un ni l'autre.

  5. Même question avec un comité de 44 personnes comprenant obligatoirement un président choisi parmi les membres et respectant la contrainte.

Niveau 2 — Combinatoire et dénombrement — 25 min

Corrigé — Un comité avec incompatibilité

  1. (104)=210\dbinom{10}{4}=210.

  2. (82)=28\dbinom82=28.

  3. 210−28=182210-28=182.

  4. Exactement l'un des deux : 2×(83)=1122\times\dbinom83=112. Aucun des deux : (84)=70\dbinom84=70. Total 112+70=182112+70=182 ✓.

  5. 182×4=728182\times4=728.